Значение слова результант

(от лат. resultans, родительный падеж resultantis ≈ отражающийся), алгебраическое выражение, применяемое при решении систем алгебраических уравнений. Р. двух многочленов f (x) = a0xn+ .. + an и g(x) = b0xs +...+ bs(возможно, что a0 = 0 или b0 = 0) называется определитель

,

где на свободных местах стоят нули; коэффициенты a0, a1, ..., an занимают s строк, а коэффициенты b0 b1 , ..., bn занимают n строк. Если a0 ¹ 0 и b0 ¹ 0, то

,

где a1, a2, ..., an ≈ корни f(x), b1, b2,. .., bs ≈ корни g(x). Р. равен нулю тогда и только тогда, когда f(x) и g(х) обладают общим корнем или когда их старшие коэффициенты оба равны нулю.

Пусть даны 2 уравнения Р(х, у) = 0 и Q(x, y) = 0, где Р и Q ≈ многочлены относительно х и у. Если расположить эти многочлены по степеням х и приравнять нулю Р. получающихся многочленов, то получится уравнение относительно у степени, не превосходящей sn, где n ≈ степень Р относительно х и у, a s ≈ степень Q. Если x = x0, у = y0 ≈ решение данной системы уравнений, то у = y0 является корнем уравнения R(f, g) = 0. Это позволяет свести решение системы двух уравнений к решению одного уравнения.

Р. многочлена и его производной с точностью до знака равен дискриминанту многочлена. Равенство нулю дискриминанта показывает наличие у многочлена кратных корней.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.

В математике , результантом двух многочленов P и Q над некоторым полем $\Bbb K$, старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля $\Bbb K$ с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов P и Q (лежащих, быть может, вне поля $\Bbb K$), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов P и Q. Для многочленов, старшие коэффициенты которых (p и q соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на